Nato a Denno, fu priore della chiesa di San Martino a Trento: fu intensa la sua attività di divulgatore e storiografo, parte del movimento cattolico che stava nascendo in quegli anni assieme a Celestino Endrici e Guido de Gentili: furono gli anni della diffusione delle dottrine sociali di Leone III e della conquista dello spazio pubblico da parte dei cattolici.

Fiorì così la stampa cattolica, anche grazie ai contributi di Weber (temi di storia regionale, di ricerca storico-artistica locale, scoperte d’archivio), che fu collaboratore di diversi periodici, tra cui La voce cattolica e la Rivista Tridentina, fondata dagli universitari cattolici, di cui fu poi direttore. Dopo la prima guerra mondiale Weber continuò la sua opera di divulgazione storiografica e fu tra i promotori della Società di Studi Trentini di Scienze Storiche.

Gli anni complessi del dopoguerra e dell’avvento del fascismo videro un mutamento negli studi storici trentini e anche nell’opera di Weber, che avevano perduto la funzione in chiave nazionale degli anni precedenti, quando il Trentino era austriaco. Il fascismo lasciò poi poco spazio di azione ed espressione e Weber potè continuare a collaborare con Vita Trentina, l’unica voce di stampa dei cattolici trentini ammesso dal regime. Lo opere degli anni Trenta furono prevalentemente di carattere storico-artistico.